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Utilisation d'un quadrant ancien

Utilisation d'un quadrant pour déterminer l'heure

Heures inégales

Rappel sur les heures inégales

La durée du jour est divisée en 12 parties égales et la durée de la nuit est divisée en 12 parties égales. Il y a donc 12 heures de jour et 12 heures de nuit.
La durée d'une heure dépend donc de la saison c’est-à-dire de la date.
En été une heure de jour est plus longue qu'une heure de nuit.
En hiver une heure de jour est plus courte qu'une heure de nuit.


Lecture

Pour un lieu de latitude donnée, il faut glisser le curseur, pour que la graduation des équinoxes se trouve en face de la graduation de la colatitude (90° - phi ) du lieu.

Dessin du quadrant, du fil à plomb et du soleil

Exemple ci-dessus pour le 23 mars :

Latitude du lieu : 47°
Colatitude = 90° - 47° = 43°

C'est le matin.
On lit : 10 h et demie en heures inégales.

Heures égales et inégales pour un lieu donné

Dessin du quadrant, du fil à plomb et du soleil

Reprendre la manipulation précédente :



Exemple ci-dessus pour le 1er avril à Nantes :

C'est le matin.
On lit : 10 h 40 min (10 + 2/3) en heures inégales et 7 h en heures égales.


Utilisation du quadrant pour déterminer la latitude d'un lieu

Quadrant, horizon, fil à plomb et soleil

Hauteur de l'Étoile Polaire ≈ latitude du lieu


Calculs de distances et de hauteurs

"Le graphique noir et blanc est nommé "carré des ombres" par allusion aux mesures analogues que l'on fait à l'aide de l'ombre d'un bâton, le gnomon […] Deux cas se présentent suivant que l'angle de visée α est inférieur ou supérieur à 45°. Dans le premier cas, on utilise l'échelle dite des "ombres verses", par analogie avec l'ombre d'un gnomon "verse", c’est-à-dire horizontal ; dans le second cas, la lecture se fait sur l'échelle des "ombres droites", comme s'il s'agissait de l'ombre donnée par un gnomon droit, c'est à dire vertical."
(Philippe Dutarte : Les instruments de l'astronomie ancienne de l'Antiquité à la Renaissance.)


À quelle distance se trouve le bateau aperçu (sachant qu'on connaît la hauteur du mât) ?


α < 45°

Dessin du bateau et du quadrant

Les triangles OAB et O'A'B' sont semblables.

donc AB/A'B'=OB/O'B' donc OB = (AB multiplié par O'B')/A'B'

Distance entre les deux navires : hauteur du mât multiplié par 12 et divisé par lecture


Le carré des ombres permet aussi de déterminer la hauteur d'une tour, d'une pyramide, etc.

Comme précédemment on a :   AB/A'B'=OB/O'B' donc AB = (OB multiplié par A'B')/O'B'

Hauteur = Distance entre le monument et l'observateur × lecture / 12

Remarque: En faisant varier la distance (en s'approchant ou en reculant du monument) la valeur lue peut être choisie. Cela peut rendre plus facile le calcul mental du rapport lecture / 12.


Le bateau se rapproche, à quelle distance se trouve-t-il maintenant ?


α > 45°

Dessin du bateau et du quadrant

Les triangles OAB et O'A'B' sont semblables.

donc AB/O'B'=OB/A'B' donc OB = (AB multiplié par A'B')/O'B'

Distance entre les deux navires : hauteur du mât multiplié par lecture et divisé par 12


Le carré des ombres permet aussi de déterminer la hauteur d'une tour, d'une pyramide, etc.

Comme précédemment on a :   AB/O'B'=OB/A'B' donc AB = (OB multiplié par O'B')/A'B'

Hauteur = Distance entre le monument et l'observateur × 12 / lecture

Remarque : En faisant varier la distance (en s'approchant ou en reculant du monument) la valeur lue peut être choisie. Cela peut rendre plus facile le calcul mental du rapport   12 / lecture.


Calcul de la tangente d'un angle

Après les travaux de Mercator et les calculs sur la loxodromie, il devient possible au cours du XVIIe siècle d'estimer par calcul la longitude en appliquant la formule qui figure ci-dessous, très simplifiée :

différence de longitude = (différence de latitude) X (tangente de l'angle formé par un méridien et le cap du navire)

On peut imaginer que la valeur de la tangente était trouvée par l'utilisation du carré des ombres.


α < 45°


tan α = lecture / 12

Exemple: α = 23°

tan alpha = lecture/12 = 5/12 = 0,42


tan 23° = 0,42 (calculatrice)


quadrant

α > 45°


tan α = 12/lecture

Exemple: α = 49,5°

tan alpha = 12/lecture = 12/10,3 = 1,17


tan 49,5° = 1,17 (calculatrice)


quadrant

Lecture du cosinus d'un angle

Exemple: cos 30° = 0,87

quadrant quadrant

Lecture du sinus d'un angle

Exemple: sin 30° = 0,50

quadrant quadrant

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